Branching
Random Walk with Exponentially Decreasing Steps, and Stochastically Self-Similar
Measures
( Ветвящиеся случайные блуждания
с экспоненциально уменьшающимися шагами и стохастически самоподобные меры )
I.Benjamini, O.Gurel-Gurevich,
B.Solomyak
2009
Рассмотрим ветвящееся случайное блуждание на R,
шаг которого убывает с фиксированным коэффициентом λ, 0< λ <1.
Этот процесс задает вероятностную меру на R, являющуюся пределом
равномерного распределения между 2n точками на n-м шаге. Мы проведем начальное
исследование предельной меры и ее носителя. Покажем, в частности, что (1) для
почти каждого λ >1/2 предельная мера почти наверное абсолютно
непрерывна по мере Лебега, но в случае 1/ λ - чисел Писота – почти
наверное сингулярна; (2) для каждого λ >(
-1)/2 носитель меры почти наверное является замыканием ее
ядра; (3) в случае 1/ λ - чисел Писота носитель меры «раздроблен», т.е. он
почти наверное несвязен и компоненты дополнения к нему незамкнуты с обеих
сторон.
См. также: Асимметричная рефлексия, Золотая Пропорция и
алгоритм «Вальс»